「ポアンカレ予想」を出発点とし、横道にそれてまで考えたこと

NHK の BS プレミアムで、プレミアムアーカイブス HV 特集 「数学者はキノコ狩りの夢を見る ～ ポアンカレ予想」 という番組を見た。「人類が長年問い続けてきた謎に迫る数学上の難問が、2006年に証明された。その難問は 『ポアンカレ予想』。解けるまでの 100年にわたる天才たちの格闘のドラマに迫る」と紹介されている。

ポアンカレ予想というのは、数学（位相幾何学）における予想の一つで、フランスの数学者アンリ・ポアンカレによって 1904年に提出された。その内容は「単連結な 3次元閉多様体は 3次元球面 S3に同相である」というもの（参照） だが、大方の人はリンク先の Wikipedia を読んでも私同様、チンプンカンプンだろう。

表面的に一言でいえば、それは宇宙の形の解明に関わるほど重要な幾何学問題である。提出の約 100年後、遂に証明に成功したロシアの数学者グリゴリー・ペレルマンは、2006年に数学界のノーベル賞ともいわれるフィールズ賞受賞者に選出されたが、本人は受賞を辞退した上、それ以後はたまに森にキノコ狩りに出かけるのみの、隠遁者のような生活をしている。

ペレルマンによる証明は、アメリカの数学者ウィリアム・サーストンがポアンカレ予想の証明に取り組む過程で 1982年に提出した「幾何化予想」をも、同時に証明した。

この幾何化予想というのは、「コンパクト 3次元多様体は、幾何構造を持つ 8つの部分多様体に分解される」という命題である。これまたチンプンカンプンだろうから、素人の分際で乱暴に言い換えると、「トポロジー視点からすると、宇宙には最大でも 8種類の幾何学的構造しかない」 ということらしい（微妙に正しくなかったらゴメン）。

数学者の感覚では、このような数学理論というのはとても美しいものであるらしい。それは私のようなものにでもわからないではない。一見するとバラバラでとりとめのない現象の中に普遍的法則を見いだし、単純な数式や幾何構造で一般化する。それは胸のすくほど爽快なことに違いない。

「とりとめのないことの中に法則を見いだして一般化する」というのは、知的快感の中でもかなり大きなものだ。「一を聞いて十を知る」ことが可能なのは、「一般化」という作業を通じるからこそである。

「一般化」というのは、複雑なことを単純な共通項に還元することである。「頭のいい奴は複雑なことを単純に考える」というが、それができるのも「一般化」（あるいは「抽象化」）という作業をサクサクっと行えるからだ。

これができないと、「話のわからない人」 になる。「A=B」と「B=C」は理解できても、「よって A=C」を理解できない人が、世の中には結構いる。彼らは決まって 「それとこれとは違うだろう」と言い出すのだ。それで、過去に学ぶこともできないし、ケーススタディも成立しない。

一般化、あるいは抽象化というのは、枝葉の相違を切り捨てて根本的な共通点に注目することが必要になるが、どうでもいい相違に目を奪われてこだわる人が混じると、この基本的プロセスで作業が頓挫する。だから要領のいい「単純化」というのは知的思考における必須事項なのだ。

ところが、ここに落とし穴もある。隠された共通項を拾いだすことによる単純化の知的快感に酔いすぎると、こんどは過度に単純化してしまい、「すべてのトランザクションは個別である」（経済人類学者 カール・ポランニーの言葉）という基本事項を忘れてしまうことがある。

経済学者の景気予測の多くが外れてしまうのは、実経済における「ノイズ」の部分を切り捨てて、安易にアカデミックな「経済モデル」に当てはめて考えるからでもある。ノイズと思われたことが、実際にはかなりの影響力をもつことだってある。同じ雑音でも大きな雑音は無視できない。

頭のいい奴は複雑なことを単純に考えるが、もっと頭のいい奴は、単純化した時点で切り捨ててしまったことが多くあるかもしれないことに自覚的だ。今や「複雑系」の世の中なのである。私はこのことについては結構何度も書いていて、最近では去年の秋の「複雑なことを単純に考えて満足するのは、中途半端に賢い奴」という記事がある。

ただ数学というのは、かなりの部分が人間の頭の中の概念で処理されるので、とてもピュアな世界である。ノイズが極小だ。それでこの一般化がものすごく美しく機能する。かなり魅力的な学問ではある。社会問題においてまでこのメソッドを信じすぎると、オタッキーになってしまうが。